Nº3 Operaciones con números naturales: Suma, Resta, Multiplicación Y División

Las operaciones con números naturales se hacen con los números naturales que son aquellos que se utilizan para contar, desde el 1 hasta el infinito. Son la base de la aritmética, la rama de las matemáticas que estudia las operaciones básicas con números.

Vamos a estudiar cómo realizar las operaciones con números naturales: suma, resta, multiplicación y división.

Operaciones con números naturales: La Suma

La suma es la operación que combina dos números para obtener un único número que los representa en conjunto. Se representa con el símbolo “+”.

Propiedades de la suma:

  • Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
  • Conmutativa: a + b = b + a
  • Elemento neutro: a + 0 = a

Ejemplos de suma:

  • 3 + 5 = 8
  • 10 + 12 = 22
  • 1 + 1 + 1 = 3

La propiedad asociativa de la suma con números naturales

La propiedad asociativa de la suma establece que el orden en que se suman dos o más números no afecta el resultado final. En otras palabras, podemos agrupar los números de diferentes maneras sin que cambie la suma total.

Ejemplo:

Consideremos la suma 3 + 4 + 5. Según la propiedad asociativa, podemos agrupar los números de la siguiente manera:

  • (3 + 4) + 5 = 7 + 5 = 12
  • 3 + (4 + 5) = 3 + 9 = 12

Como podemos observar, el resultado final es el mismo en ambos casos.

Representación matemática:

La propiedad asociativa de la suma se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera:

  • Para cualquier conjunto de números a, b y c:

(a + b) + c = a + (b + c)

La propiedad conmutativa de la suma con números naturales

La propiedad conmutativa de la suma establece que el orden en que se suman dos números no afecta el resultado final. En otras palabras, podemos cambiar el orden de los sumandos sin que cambie la suma total.

Ejemplo:

Consideremos la suma 3 + 4. Según la propiedad conmutativa, podemos cambiar el orden de los sumandos de la siguiente manera:

  • 3 + 4 = 4 + 3

Como podemos observar, el resultado final es el mismo en ambos casos.

Representación matemática:

La propiedad conmutativa de la suma se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera:

  • Para cualquier número a y b:

a + b = b + a

El elemento neutro de la suma con números naturales

El elemento neutro de la suma, también conocido como identidad aditiva, es un número que, al sumarse a cualquier otro número, no cambia el valor de este último. En otras palabras, es como si no se sumara nada.

Ejemplo:

El número 0 es el elemento neutro de la suma. Si sumamos 0 a cualquier número, el resultado siempre será el mismo número.

  • 0 + 3 = 3
  • 0 + 5 = 5
  • 0 + 10 = 10

Representación matemática:

El elemento neutro de la suma se puede representar matemáticamente de la siguiente manera:

  • Para cualquier número a:

a + 0 = a

Relación con las propiedades conmutativa y asociativa:

El elemento neutro de la suma está relacionado con las propiedades conmutativa y asociativa de la suma. La propiedad conmutativa nos dice que podemos cambiar el orden de los sumandos sin que cambie el resultado final. La propiedad asociativa nos dice que podemos agrupar números de diferentes maneras sin que cambie el resultado final. El elemento neutro de la suma es un número que, al sumarse a cualquier otro número, no cambia el valor de este último, lo que significa que no importa el orden en que se sume o cómo se agrupe con otros números.

Ejemplos que combinan las tres propiedades:

  • 3 + 0 + 4 = 3 + 4 + 0 = 7
  • (3 + 0) + 4 = 3 + (0 + 4) = 3 + 4 = 7

En este ejemplo, podemos observar que la propiedad asociativa nos permite agrupar los números de diferentes maneras, la propiedad conmutativa nos permite cambiar el orden de los sumandos dentro de un grupo, y el elemento neutro no cambia el valor final de la suma.

Operaciones con números naturales: La Resta

La resta es la operación que elimina una parte de un número para obtener el resto. Se representa con el símbolo “-“.

Propiedades de la resta con números naturales

  • No es asociativa: (a – b) – c ≠ a – (b – c)
  • Es conmutativa: a – b = b – a (solo si a ≥ b)
  • No tiene elemento neutro: a – 0 ≠ a

Ejemplos de resta:

  • 8 – 5 = 3
  • 12 – 10 = 2
  • 3 – 1 – 1 = 1

La resta es una operación matemática que nos permite encontrar la diferencia entre dos números. A diferencia de la suma, la resta no tiene tantas propiedades.

1. Propiedad conmutativa:

La resta no es conmutativa. El orden de los números en una resta sí importa, ya que el resultado cambia si intercambiamos el minuendo y el sustraendo.

Ejemplo:

  • 5 – 3 = 2
  • 3 – 5 = -2

2. Propiedad asociativa:

La resta no es asociativa. La forma en que se agrupan los números en una resta sí importa, ya que el resultado cambia si cambiamos el orden de las operaciones.

Ejemplo:

  • (5 – 3) – 2 = 0
  • 5 – (3 – 2) = 4

3. Elemento neutro:

La resta no tiene elemento neutro. No hay ningún número que, al restarlo a otro, nos dé el mismo número.

4. Propiedad inversa:

La resta tiene una propiedad inversa, que es la suma. Si restamos un número a otro y luego sumamos el mismo número al resultado, obtenemos el minuendo original.

Ejemplo:

  • 5 – 3 = 2
  • 2 + 3 = 5

Operaciones con números naturales: La Multiplicación

La multiplicación es la operación que combina dos números para obtener un nuevo número que representa la suma de uno de los números consigo mismo tantas veces como indica el otro. Se representa con el símbolo “x” o “*”.

Propiedades de la multiplicación con números naturales

  • Asociativa: (a x b) x c = a x (b x c)
  • Conmutativa: a x b = b x a
  • Elemento neutro: a x 1 = a

Ejemplos de multiplicación:

  • 3 x 5 = 15
  • 10 x 12 = 120
  • 1 x 1 x 1 = 1

Las propiedades de la multiplicación son reglas que nos ayudan a entender cómo funciona la operación de multiplicar y a realizar cálculos de forma más eficiente. Las principales propiedades de la multiplicación son:

1. Propiedad conmutativa:

El orden de los factores no altera el producto. En otras palabras, si multiplicamos dos números, no importa el orden en que los multipliquemos, el resultado siempre será el mismo.

Ejemplo:

  • 3 x 4 = 4 x 3 = 12

2. Propiedad asociativa:

La forma en que se agrupan los factores no altera el producto. En otras palabras, si multiplicamos más de dos números, podemos agruparlos de diferentes maneras y el resultado siempre será el mismo.

Ejemplo:

  • (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = 24

3. Propiedad distributiva:

La multiplicación de un número por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de ese número por cada uno de los sumandos.

Ejemplo:

  • 3 x (2 + 4) = 3 x 2 + 3 x 4 = 6 + 12 = 18

4. Elemento neutro:

El producto de cualquier número por 1 es el mismo número. En otras palabras, 1 es el elemento neutro de la multiplicación.

Ejemplo:

  • 3 x 1 = 3

5. Elemento absorbente:

El producto de cualquier número por 0 es 0. En otras palabras, 0 es el elemento absorbente de la multiplicación.

Ejemplo:

  • 3 x 0 = 0

Operaciones con números naturales: La División

La división es la operación que reparte un número en partes iguales, según lo indica otro número. Se representa con el símbolo “/”.

Propiedades de la división con números naturales

  • No es asociativa: (a / b) / c ≠ a / (b / c)
  • No es conmutativa: a / b ≠ b / a
  • No tiene elemento neutro: a / 1 ≠ a

Ejemplos de división:

  • 15 / 3 = 5
  • 120 / 10 = 12
  • 1 / 1 / 1 = 1

La división con números naturales tiene algunas propiedades que nos ayudan a entender cómo funciona esta operación y a realizar cálculos de forma más eficiente. Sin embargo, es importante recordar que la división con números naturales no tiene tantas propiedades como la suma o la multiplicación.

1. No es conmutativa:

El orden de los números en una división sí importa, ya que el resultado cambia si intercambiamos el dividendo y el divisor.

Ejemplo:

  • 10 ÷ 2 = 5
  • 2 ÷ 10 = 0.2

2. No es asociativa:

La forma en que se agrupan los números en una división sí importa, ya que el resultado cambia si cambiamos el orden de las operaciones.

Ejemplo:

  • (10 ÷ 2) ÷ 3 = 5/3
  • 10 ÷ (2 ÷ 3) = 10/0.6666… = 15

3. Elemento neutro:

La división no tiene elemento neutro. No hay ningún número que, al dividirlo por otro, nos dé el mismo número.

4. Propiedad inversa:

La división tiene una propiedad inversa, que es la multiplicación. Si dividimos un número por otro y luego multiplicamos el resultado por el divisor, obtenemos el dividendo original.

Ejemplo:

  • 10 ÷ 2 = 5
  • 5 x 2 = 10

5. Cero dividido entre cualquier número es cero:

Cualquier número dividido por cero es indefinido.

Ejemplo:

  • 10 ÷ 0 = Indefinido

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