Nº5 Números primos y compuestos: descomposición en factores primos

Los números primos y compuestos son conceptos fundamentales en la aritmética. La descomposición en factores primos es una herramienta importante para comprender la estructura de los números y realizar operaciones matemáticas.

Números primos:

  • Son los “ladrillos” básicos de la matemática.
  • Son infinitos, es decir, no hay un número primo más grande que todos los demás.
  • La principal propiedad de los números primos es que solo son divisibles por 1 y por sí mismos.
  • Algunos ejemplos de números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97…

Números compuestos:

  • Son aquellos que se pueden formar multiplicando dos o más números primos.
  • Tienen más de dos divisores distintos.
  • Algunos ejemplos de números compuestos son: 4 (divisores: 1, 2, 4), 6 (divisores: 1, 2, 3, 6), 8 (divisores: 1, 2, 4, 8), 9 (divisores: 1, 3, 9), 10 (divisores: 1, 2, 5, 10), 12 (divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 12), 14 (divisores: 1, 2, 7, 14), 15 (divisores: 1, 3, 5, 15), 16 (divisores: 1, 2, 4, 8, 16), 18 (divisores: 1, 2, 3, 6, 9, 18), 20 (divisores: 1, 2, 4, 5, 10, 20), 21 (divisores: 1, 3, 7, 21), 22 (divisores: 1, 2, 11, 22), 24 (divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24), 25 (divisores: 1, 5, 25), 26 (divisores: 1, 2, 13, 26), 27 (divisores: 1, 3, 9, 27), 28 (divisores: 1, 2, 4, 7, 14, 28), 30 (divisores: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30), 32 (divisores: 1, 2, 4, 8, 16, 32)…

Descomposición en factores primos: Números primos y compuestos

  • Es el proceso de expresar un número compuesto como producto de números primos.
  • Es importante comprender que la descomposición en factores primos es única para cada número compuesto.
  • Existen diferentes métodos para realizar la descomposición en factores primos, como la división sucesiva por primos, la criba de Eratóstenes y algoritmos de factorización más avanzados.

Descomposición en factores primos: una guía completa

¿Qué significa descomponer un número en factores primos?

Es el proceso de expresar un número compuesto como producto de números primos. En otras palabras, es como desmontar un número en sus piezas más básicas, que son los números primos.

¿Qué son los números primos?

Son números naturales mayores que 1 que solo tienen dos divisores: 1 y sí mismos. Algunos ejemplos de números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…

¿Por qué es importante descomponer un número en factores primos?

  • Permite comprender mejor la estructura del número.
  • Es útil para calcular el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números.
  • Se utiliza en la resolución de problemas de congruencias.
  • Tiene aplicaciones en diversas áreas como la criptografía, la teoría de números, la computación y la química.

¿Cómo se descompone un número en factores primos?

Existen diferentes métodos, entre ellos:

1. División sucesiva por primos:

  • Se divide el número por el primer número primo (2) tantas veces como sea posible.
  • Si el resultado de la división no es divisible por 2, se pasa al siguiente número primo (3).
  • Se repite el proceso hasta que el cociente sea 1.
  • Los exponentes de los números primos en la descomposición final serán el número de veces que cada uno dividió al número original.

Ejemplo: Descomponer 24 en factores primos.

24 | 2 (12) 12 | 2 (6) 6 | 2 (3) 3 | 3 (1)

Descomposición en factores primos: 24 = 2^3 * 3^1

2. Criba de Eratóstenes:

  • Es un método más eficiente para descomponer números grandes en factores primos.
  • Se crea una tabla con todos los números desde 2 hasta el número que se desea descomponer.
  • Se tacha el 2 y luego todos sus múltiplos.
  • El siguiente número sin tachar se convierte en el nuevo divisor y se repite el proceso con sus múltiplos.
  • Los números que no se tachen al final son números primos.

Ejemplo: Descomponer 30 en factores primos usando la criba de Eratóstenes.

2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 — | — | — | — | — | — | — | — | — X | 3 | X | 5 | X | 7 | X | 9 | X X | X | X | 5 | X | X | X | 9 | X X | X | X | X | X | 7 | X | X | X

Descomposición en factores primos: 30 = 2 * 3 * 5

3. Algoritmos de factorización:

  • Existen algoritmos más avanzados para descomponer números grandes en factores primos.
  • Estos algoritmos son utilizados por las computadoras para realizar tareas como la criptografía.

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