Nº7 Comparar Fracciones

Vamos a hablar sobre el problema de comparar fracciones en un contexto práctico. Utilizaremos como ejemplo la situación de Jorge, Araceli y Lucas, quienes han comprado el mismo número de cromos y los han pegado en diferentes proporciones. Nuestro objetivo será determinar quién ha pegado más cromos.

Para resolver este problema de comparar fracciones, seguiremos dos pasos:

1. Obtener fracciones equivalentes con el mismo denominador.

El primer paso para poder comparar fracciones es convertir todas las fracciones a un denominador común. Esto nos permitirá compararlas de manera precisa. Para ello, podemos utilizar los siguientes métodos:

  • Mínimo común múltiplo (MCM): Buscamos el MCM de los denominadores de las fracciones originales. Luego, convertimos cada fracción a una fracción equivalente con el MCM como denominador.

Mínimo común múltiplo (MCM)

El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números es el número más pequeño que se puede dividir por todos ellos sin dejar resto.

Ejemplo:

El MCM de 2, 3 y 4 es 12. Esto significa que 12 es el número más pequeño que se puede dividir por 2, 3 y 4 sin dejar resto.

¿Cómo encontrar el MCM?

Hay diferentes maneras de encontrar el MCM:

  • Descomponiendo en números primos: Dividimos cada número en sus partes más pequeñas (números primos) y luego buscamos el producto de las partes que se repiten más veces.
  • Listas de múltiplos: Escribimos los múltiplos de cada número hasta encontrar uno que sea múltiplo de todos los demás.
  • Calculadora: Algunas calculadoras tienen una función para calcular el MCM.

¿Para qué sirve el MCM?

El MCM se utiliza para:

  • Comparar fracciones: Para comparar dos o más fracciones, es necesario que tengan el mismo denominador. El MCM de los denominadores originales nos permite convertir todas las fracciones a un denominador común.
  • Sumar y restar fracciones: Para sumar o restar fracciones con diferentes denominadores, es necesario convertirlas a un denominador común. El MCM de los denominadores originales nos permite realizar la operación de forma más sencilla.
  • Resolver problemas: El MCM se puede utilizar para resolver problemas de matemáticas relacionados con múltiplos y divisores.

Ejemplo:

Problema: Ana tiene 6 manzanas y Juan tiene 8 naranjas. ¿Cuántas frutas tienen que comer juntos para que el número de frutas sea divisible por 6 y por 8?

Solución:

  1. Buscamos el MCM de 6 y 8: MCM(6, 8) = 12.
  2. Convertimos las cantidades de frutas a fracciones con denominador 12:
  • Ana: 6/6 * 2/2 = 12/12
  • Juan: 8/8 * 3/3 = 24/24
  1. Sumamos las fracciones: 12/12 + 24/24 = 36/24.
  2. Simplificamos la fracción: 36/24 = 1.5.

Respuesta: Ana y Juan tienen que comer juntos 1.5 frutas para que el número de frutas sea divisible por 6 y por 8.

  • Multiplicación cruzada: Multiplicamos el numerador y el denominador de cada fracción por el denominador de las demás fracciones.

Multiplicación cruzada

La multiplicación cruzada es un método para convertir fracciones a fracciones equivalentes con un denominador común. Este método se basa en la propiedad fundamental de la proporcionalidad:

Si dos razones son iguales, entonces el producto cruzado de sus términos también es igual.

En otras palabras, si tenemos dos razones:

  • a/b = c/d

Entonces, el producto cruzado de sus términos es:

  • a * d = b * c

Ejemplo:

Queremos convertir la fracción 1/2 a una fracción equivalente con un denominador de 6.

Solución:

  1. Aplicamos la propiedad fundamental de la proporcionalidad:
  • 1/2 = x/6
  1. Multiplicamos en cruz:
  • 1 * 6 = 2 * x
  1. Despejamos x:
  • x = 3

Respuesta: La fracción 1/2 es equivalente a la fracción 3/6.

Ventajas de la multiplicación cruzada:

  • Es un método rápido y sencillo para convertir fracciones a fracciones equivalentes.
  • No requiere calcular el mínimo común múltiplo (MCM).

Desventajas de la multiplicación cruzada:

  • Puede ser difícil de recordar.
  • Puede generar errores si no se aplica correctamente.

En resumen, la multiplicación cruzada es un método útil para convertir fracciones a fracciones equivalentes con un denominador común y poder comparar fracciones. Sin embargo, es importante tener en cuenta sus ventajas y desventajas para usarlo de forma efectiva.

2. Comparar fracciones mediante los numeradores.

Una vez que todas las fracciones tienen el mismo denominador, podemos compararlas simplemente comparando sus numeradores. La fracción con el mayor numerador será la mayor.

Ejemplo:

Jorge: Ha pegado 2/3 de los cromos.

Araceli: Ha pegado 1/2 de los cromos.

Lucas: Ha pegado 3/4 de los cromos.

1. Obtener fracciones equivalentes con el mismo denominador.

El MCM de 3, 2 y 4 es 12. Convertimos cada fracción a una fracción equivalente con 12 como denominador:

  • Jorge: 2/3 * 4/4 = 8/12
  • Araceli: 1/2 * 6/6 = 6/12
  • Lucas: 3/4 * 3/3 = 9/12

2. Comparar fracciones mediante los numeradores.

Las fracciones, ahora con el mismo denominador, son:

  • Jorge: 8/12
  • Araceli: 6/12
  • Lucas: 9/12

Comparando los numeradores, podemos observar que:

  • 9 > 8 > 6

Aquí, se están comparando tres números: 9, 8 y 6. El símbolo “>” se utiliza para indicar que el número que lo precede es mayor que el número que lo sigue.

Te lo explico mejor:

  • 9 > 8: Este símbolo significa que 9 es mayor que 8. En otras palabras, 9 tiene un valor más alto que 8.
  • 8 > 6: Este símbolo significa que 8 es mayor que 6. En otras palabras, 8 tiene un valor más alto que 6.

Por lo tanto:

Al combinar estas dos comparaciones, podemos concluir que:

  • 9 es el mayor número de los tres.
  • 8 es el segundo mayor número.
  • 6 es el menor número de los tres.

Ejemplo:

Imaginemos que tenemos tres cajas con diferentes cantidades de manzanas:

  • Caja 1: 9 manzanas
  • Caja 2: 8 manzanas
  • Caja 3: 6 manzanas

Si comparamos la cantidad de manzanas en cada caja, podemos observar que:

  • La caja 1 tiene más manzanas que la caja 2 (9 > 8).
  • La caja 2 tiene más manzanas que la caja 3 (8 > 6).

Por lo tanto, la caja 1 tiene la mayor cantidad de manzanas, seguida por la caja 2 y finalmente por la caja 3.

Conclusión:

Lucas ha pegado más cromos, seguido por Jorge y finalmente Araceli.

Todo este proceso nos sirve para comparar fracciones.

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